科探柯菲第2部分阅读（1/2）

理过程，所以我们只能运用已知的二氧化碳跟植物关系的知识，和利用存在的植物化石来研究。

可能欧几里得在具体的思维过程中，运用过这样的方法，只是我们无法看到；所以康托创造“对角线法”可以说是方法上的真正创造，“对角线法”体现了一种由内而外的技巧（具体参考下文康托部分）。

132切分与延伸思维——对单一事物的处理方法在《几何原本》的第一卷中，我们可以看到很多简单而好像没有意义的作图证明。其实这一切都是必要的铺垫。就霍布士的感悟，可以看到它们都是为“勾股定理”这样的大命题，甚至是一切几何证明作铺垫。比如，命题9（“二等分一个已知直线角”）、命题10（“二等分已知有限直线”）和命题11（“由已知直线上一已知点作一直线和已知直线成直角”）、命题12（“由已知无限直线外一已知点作该直线的垂线”），其实说到底只是指出“二等分角和线”“作垂线”是必然可行的。而命题31（“过一已知点作一直线平行于已知直线”）和命题1（“在一个已知有限直线上作一个等边三角形”）、命题46（“在已知线段上作一个正方形”）也只是指出作平行线、外接等腰三角形、外接正方形的必然可行性。这两类其实是对某一几何对象的处理方法一是切分、一是延展。欧几里得其实就是运用了这两种简单而根本的方法来解决问题的。

具体而言，我们来看看命题10的证明。（如图13）

二等分已知有限直线设ab是已知道有限直线，那么，要求二等分有限直线ab设在ab上作一个等边三角形abc［11］且设直线cd二等分角acb［19］则可证线段ab被点d二等分事实上，由于ac等于cb，且cd公用；两边ac、cd分别等于两边bc、cd；且角acd等于角bcd所以，底ad等于底bd［14］从而，将已知有限直线ab二等分于点d作完这里运用了卷一中的命题1、9、4，来证明可以二等分已知有限直线。具体来说，运用命题1只是为了作外接等边三角形，运用命题9只是为了作角平分线。通过对直线ab的延展，再切分，终于解决了问题。如果不这样处理，单一的一条线，几乎没有思考和处理的可能。这点联系我们平常处理问题，如果是对某一个独立问题的思考，要么对该问题进行分解分析，要么联系其他相关问题来解决问题，否则无从下手。

这也就是说明，其实，欧几里得在具体处理问题时，运用了两种非常简单的技术性思维延展与切分。而延展和切分的具体措施，除了上面提到的那些还有很多。但不管有多少，其基本的思路很简单，就是延展与切分。延展与切分，与中国哲学“一阴一阳之谓道”一样，虽然简单，但是却是根本，运用起来效用无穷。

又比如《几何原本》第一卷命题5等腰三角形两底角相等。因为单独一个等腰三角形是无法进行任何分析讨论的，所以必须作延长线，建立新的三角形，并使它们产生关系，这样才能够进行分析讨论。此外的思路，必然地，就是作顶角的平分线或者作顶点到底边的垂线，而目的到头来也是建立新的三角形，并使它们产生关系，这样都可以解决问题，可以说是殊途同归。

133归谬法和穷竭法——无穷与有限的转换欧几里得的《几何原本》还记录、使用了归谬法、穷竭法。

在《几何原本》第一卷命题6的证明中，欧几里得就运用了归谬法。归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。

很多时候我们走一个方向，却怎么也无法到达；但这时候我们如果换个方向，也许有意外的收获。归谬法就是这么一个巧妙的方法。它告诉我们要懂得改变思维的方向。以最著名的素数（即质数）定理为例，《几何原本o第九卷》列出的命题20“预先给定任意多个素数，则有比它们更多的素数”。这里，欧几里得故意回避“无穷”的概念，原命题其实也就是指出“素数有无穷多个”。对于“无穷”我们没有办法直接处理；所以，我们反过来设定假设质数只有有限多个。

由此可设最大质数为p。

定义q=2'3'5'7'…'p+1明显，将q除以任何质数都余1，所以q亦应是质数。

因此，q是一个比p还要大的质数。

这是不可能的。

所以质数有无穷多个。（证完）

可见，归谬法，不仅是逆方向的思考，而且还为我们提供了一套解决“无限”的方法。人类的感知和测量是有限的，所以面对无限的问题，必须先把它转换为有限的问题。而归谬法一开始就是“化无限为有限”的利器。

我们这里的证明是现代简化的方法，欧几里得用的方法是“量尽”的方法，表述比较麻烦。不过，欧几里得的方法，其实也把几何图形和数（而且是不确定的数）联系起来。这也是解决问题时，常用的一种变换。后来出现的函数，也是实现几何与代数间的变换的方法。而“量尽”，其实又与“穷竭法”的手段有关。

穷竭法（thodofexhation），“穷竭”一词起源于古希腊数学家安蒂丰（antiphon，―480？～―411？）的表述，他曾提出“从圆内接正多边形开始，将其边数加倍，可得到一个新的圆内接正多边形，再将其边数加倍，这样不断地作下去，‘最后’的多边形必将与圆重合”[13]。安蒂丰提出这思路，并以此来解决化圆为方的问题。这和老子提出的“大方无隅”（最方正的形体没有棱角）意思相同。庄子也在《天下篇》中提到“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”三国的刘徽也是借此思路，提出的计算圆周率的科学方法——割圆术。

在《几何原本》中，欧几里得证明了“给出两个不相等的量，若从较大的量中减去一个大于它的一半的量，再从所得的余量中减去大于这个余量一半的量，并且连续这样下去，则必得一个余量小于较小的量。”[14]具体在证明这一命题中，为了解决不确定数量（这样才更又代表性）的问题，欧几里得还是运用了“归谬法”。而且证明了这一命题，欧几里得也得到了“穷竭法”的理论基础。之后，欧几里得还运用穷竭法证明了第十二卷的第2、5、10、18个命题。

归谬法和穷竭法的关键说到底目标就是“化无限为有限”“化不确定为确定”。这一思路，既推动了代数学的发展，也促进了“微积分”的形成。

总之，不论是沿正常顺序思考，还是逆向推理；是切分还是延伸，是几何与代数间的转换；是无限与有限的转换，还是确定与不确定的转换。各种各样的论证方法，都有一个根本的思维，就是利用这样的思维模式而创造出来的具体方法。正如《道德经》所言“有无相生，难易相成，长短相形，高下相盈，音声相和，前后相随。恒也。”整个《几何原本》的体系，其实可以用老子的思想来理解太极就是最初的“道”，就是先天的公理和“无需定义”的定义；阴阳的对应和变化，就是方法的运用和命题的证明。

注释[1]引自《西方文化中的数学》[美]莫里斯o克莱因（orriskle）著张祖贵译复旦大学出版社2005[2]引自《几何原本o后记》。《几何原本》[古希腊]欧几里得著兰纪正朱恩宽译陕西科学技术出版社2003[3]转引自克莱因《西方文化中的数学》。相关内容还可以参考本书“九、逻辑学14论证的方法与反思”部分。

[4]这一部分中，涉及《几何原本》原著的内容，如无另外标明，均引自兰纪正、朱恩宽翻译，陕西科学技术出版社2003年出版的版本。

[5]张顺燕是北大数学教授，语见《相识数学》。《相识数学》中央电视台《百家讲坛》栏目组编中国人民大学出版社2004[6]转引自蔡聪明《从毕氏学派到欧氏几何的诞生》，《科学月刊》第二十六卷第二期～第七期[7]《爱因斯坦文集》（第1卷）许良英范岱年编译商务印书馆1976[8]具体内容可参考本书“二、物理21相对论”部分。

[9]《东方数学的使命》吴文俊2003年11月28日在“中国科学家人文论坛”上的演讲。

[10]转引自《大爆炸——宇宙通史》[英]帕特里克o摩尔[英]布赖恩o梅[英]克里斯o林陶特著李元译广西科学技术出版社2009。一般科普著作中，这样理解宇宙的最初是一个密度无穷大的点，即质量集中在大小为零的一个点上。当然，这很明显不是彭罗斯的原意。

[11]引自《同舟共进》20104总262期《蔡元培是真虎乃有风》王开林[12]《科学新闻》201014总424期《气候控制真要二氧化碳负责吗？》吕静编译[13]转引自《几何原本o再版后记》[14]《几何原本》第十卷命题1。原句表述不够简洁，可以理解为a大于b，如果从a中减去超过一半，不断这样处理，最终可以得到一个a，这个a反而比b小。

作品相关介绍 一 2微积分——朝实用性迈进

由古希腊以来的数学是静态的数学。自从有了微积分，数学开始描述变化、描述运动。微积分开辟了动态数学的时代。微积分意义非凡，不仅统一了代数与几何，物理和数学，规则与不规则，还真正让抽象的数学和现实世界完全联系起来。今天，微积分不但成了自然科学和工程技术的基础，尤其是在物理学领域中，成了物理学的基本语言；而且还渗透到社会科学领域中，尤其是在经济学领域有着其广泛的应用。

从思维的角度探讨，作为一种数学方法，它的发明更是体现了抽象思维与形象思维的统一。作为微积分发明人之一的牛顿，能够创造这样神奇的东西，这完全和他发现万有引力一样，都是不朽的功勋。

21微积分的历史微积分的发明人之一莱布尼茨在1714年发表一篇文章《微分学的历史与根源》开头写的“对于值得称颂的发明，了解其发明的真正根源与想法是很有用的，尤其是面对那些并非偶然的，而是经过深思熟虑而得的发明。展示发明的根源不光只是作为历史来了解或是鼓舞其它人，更重要的是透过漂亮的发明实例，可以增进吾人发明的艺术，并且发明的方法也可公诸于世。[1]”